问题研究||对一道困惑高中教师的最值问题的探究之旅

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公众号“邹生书数学”创建于2018年8月28日。    

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邹生书，男，1962年12月出生，本科学历，理学士学位，中学数学高级教师，黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。

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对一道困惑高中教师的最值问题的

探究之旅

湖北省阳新县高级中学      邹生书

浙江省平阳中学    洪一平     重庆潼南中学    高礼

北京  张波博士     大连  赵辉博士

上述解法是错误的。第一个不等式成立的条件是△ABC为等边三角形，此时三角形关于直线OA对称，则点M在直线OA上；第二个不等式成立的条件是点A在线段OB上。由此推出A,B,C三点共线，不合题意。

2.   再看一个直觉猜想

评注：能否求出点M的轨迹方程？能否证明点M的轨迹是一个圆吗？点M的轨迹就是这个问题能否彻底解决的关键，也是困惑无数高中数学教师和数学爱好者的难点之所在。广东佛山苏明剑老师对点M的轨迹用GGB进行了验证，从动态演示结果来看似乎是一个圆，但动态演示并不等于证明。

就是点M(x, y)的轨迹方程，由于这个太过复杂, 难以化简, 但由方程可知，点M的轨迹不是一个圆。结合几何画板知，点M的轨迹象圆但不是圆。

探究4：两位博士对定点定角所对弦的中点轨迹方程的解答

编者对问题平行四边形对角线交点的轨迹方程如何求解的问题，请教了张波博士和赵辉博士，下面是编者提出的轨迹问题和两位博士的解答回复。

（1）张波博士的轨迹方程

（2）赵辉博士的轨迹方程解答手稿（对问题进行了等价转化）

探究5：张波博士对原问题的完美解答

4.问题探源

编者猜想，这道题目可能是由如下一道大家做过的题目或类似的题目改编而成，题目与解答如下。

点评：比较可知，当四边形为矩形时，题目难易适中，其矩形对角线交点的轨迹是一个圆，而将矩形改成六十度角的平行四边形时，题目难度大增，其矩形对角线交点的轨迹象圆但不是圆，其轨迹方程非常复杂怪异另类。

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